RecurNonHomogExp

CAUTION

此組件已重構，此文檔將作廢或改寫。

WARNING

這個組件是 RecurNonHomog.vue 拆分出的子組件，你不應該單獨使用它。

用於計算非齊次遞迴的特解當中的未知係數 $p_j$，並且顯示計算過程。

描述

遞迴的非齊次部分：

$F(n) = \sum\limits_i f_i(n) {b_i}^n = (c_1 + c_2 n + c_3 n^2 + \cdots) {b_i}^n + \cdots$

以下是已經假設完成的特解形式：

$a_n^{(p)} = \sum\limits_i g_i(n) n^{k_i} {b_i}^n = (p_1 + p_2 n + p_3 n^2 + \cdots) n^{k_i} {b_i}^n + \cdots$

其中

• $f_i(n)$ 與 $g_i(n)$ 皆為多項式，且次數相同。
• $b_i \in \mathbb{Q} ~,~ b_i \neq 0$，非齊次部分的已知底數。
• $c_i \in \mathbb{Q}$ ，為非齊次部分的已知係數。
• 當齊次與非齊次部分都存在相同的指數部分 ${b_i}^n$ 時，需要額外乘上 $n^{k_i}$ 保證線性獨立。
• $p_j$ 為要計算的未知係數。

根據係數比較法可知：
不同 ${b_i}^n$ 對應的多項式 $g_i(n)$ 彼此獨立，因此可以分別計算未知係數 $p_j$。( 分治法 )

因此本組件只計算某個 ${b_i}^n$ 的部分，將 $F(n)$ 和 $a_n^{(p)}$ 視為：

$F(n) = f(n) b^n = (c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots) b^n$

$a_n^{(p)} = g(n) n^k b^n = (p_{s} + p_{s+1} n + p_{s+2} n^2 + \cdots) n^k b^n$

組件參數

props.	Type	Description
recurCoef	Array<Frac>	齊次部分的係數，.length 代表遞迴階數
frac_b	Frac	指數項 $b^n$ 的 $b$
polyCoef	Array<Frac>	多項式 $f(n)$ 的係數 $c_i$
extraNPow	number ( int )	為保持特解的線性獨立性，額外乘上去的 $n^k$
startPj	number ( int )	未知係數 $p_s$ 的編號 $s$
_mlExpTerm	Function: (boolean, number) => string	來自 RecurNonHomog.vue 的閉包 注意： s_frac_b 已被傳入 只需給予 isUnknownCoef、extraNPow

recurCoef

同 RecurNonHomg - recurCoef。

frac_b

指數項 $b^n$ 的 $b$，範例請參照 polyCoef。

polyCoef

多項式 $f(n)$ 的係數 $c_i$。

Example

frac_b = new Frac(-3);
polyCoef = [ new Frac(4), new Frac(0), new Frac(-7, 2) ];

代表

$F(n) = (-4 + \frac{-7}{2} n^2) (-3)^n$

extraNPow

當齊次與非齊次部分都存在相同的指數部分 ${b_i}^n$ 時，需要額外乘上 $n^k$ 保證線性獨立。

• 若 $a_n^{(h)}$ 存在 ${b_i}^n$ 項，需要額外乘上 $n^1$，變成 $(p_s n + p_{s+1} n^2 + \cdots) {b_i}^n$。
• 若 $a_n^{(h)}$ 存在 ${b_i}^n$、$n {b_i}^n$ 項，需要額外乘上 $n^2$，變成 $(p_s n^2 + p_{s+1} n^3 + \cdots) {b_i}^n$。

以此類推

範例請參照 startPj。

startPj

因為每個 ${b_i}^n$ 的部分是分開計算的，需要對未知係數 $p_j$ 編號，方便後續解答的合併。

Example

frac_b = new Frac(-3);
polyCoef = [ new Frac(4), new Frac(0), new Frac(-7, 2) ];
extraNPow = 2;
startPj = 3;

由於 $f_i(n)$ 與 $g_i(n)$ 的次數相同，因此

$a_n^{(p)} = (p_3 + p_4 n + p_5 n^2) n^2 (-3)^n$

_mlExpTerm

來自 RecurNonHomog - _mlExpTerm 的閉包。

注意： s_frac_b 已在 RecurNonHomog.vue 內被傳入
只需給予 isUnknownCoef、extraNPow。

emit

emit	Type	Description
PjAnswer	Array<Frac>	特解形式中的 ${b_i}^n$ 對應的多個未知係數 $p_j$ 的計算結果

PjAnswer

當未知係數 $p_j$ 計算完成時，上傳結果至 RecurNonHomog.vue。

Example

expData.startPj = 3;
PjAnswer = [ new Frac(-2, 7), new Frac(6), new Frac(3, 4) ];

表示：

$p_3 = \frac{-2}{7} ~~,~~ p_4 = 6 ~~,~~ p_5 = \frac{3}{4}$

SolveNonHomogExp 的變數

建構子參數 recurCoef、frac_b、polyCoef、extraNPow、startPj 同 組件參數。

this.	Type	Description
recurLevel	number ( int )	遞迴階數
PjNum	number ( int )	未知係數 $p_j$ 的數量
PjLinearEquation	Array<Array<Frac>>	$a_n^{(p)}$ 以 $p_j$ 表示的線性關係
nonHomogFn	Array<Frac>	將常數代入非齊次部分 $F(n)$ 得到的值
matrix_solvePj	Matrix	用於解 $p_j$ 的聯立方程式方陣
PjAnswer	Array<Frac>	算出的特解係數 $p_j$

recurLevel

遞迴階數，與 recurCoef.length 的值相同。

PjNum

未知係數 $p_j$ 的數量。

等於多項式 $g(n)$ 的次數，
又因為 $f(n)$ 與 $g(n)$ 的次數相同，且 $f(n)$ 的次數與 polyCoef.length 相同，
因此 PjNum == polyCoef.length。

PjLinearEquation

$a_n^{(p)}$ 代入自然數 $n$ 之後，以未知數 $p_j$ 表示的線性關係。

會在 SolveNonHomogExp._initPjLinearEquation() 內計算。

展開特解的形式：( $k$ 為 extraNPow )

$a_n^{(p)} = (p_{s} + p_{s+1} n + p_{s+2} n^2 + \cdots) n^k b^n$

$= (n^k b^n) p_s + (n^{k+1} b^n) p_{s+1} + (n^{k+2} b^n) p_{s+2} + \cdots$

coef 回傳 $a_n^{(p)}$ 內未知數 $p_{s+i}$ 的係數：

$\text{coef}(n, i) = n^{k+i} b^n$

nonHomogFn

將常數代入非齊次部分 $F(n)$ 得到的值。

會在 SolveNonHomogExp._initNonHomogFn() 內計算。

matrix_solvePj

用於解 $p_j$ 的聯立方程式方陣。

會在 SolveNonHomogExp._initPjEquationSystem() 內計算。

PjAnswer

算出的特解係數 $p_j$。

會在 SolveNonHomogExp._initSolvePj() 內計算。

SolveNonHomogExp 的方法

ml 是 makeLatex 的縮寫。

Method	Return	Description
_initPjLinearEquation	void	計算 PjLinearEquation
_initNonHomogFn	void	計算 nonHomogFn
_initPjEquationSystem	void	計算 matrix_solvePj
_initSolvePj	void	計算 PjAnswer
mlExp	string	回傳 " $b^n$ " ( LaTeX )
mlSomePj	string	回傳未知係數 $p_j$ 的範圍 ( LaTeX )
mlNRange	string	回傳需要代入的 $n$ 值範圍 ( LaTeX )
mlParticularLinearEquation	string	回傳 $F(n)$ 以 $a_n^{(p)}$ 表示的線性關係 ( LaTeX )
mlPjLinearEquation	string	回傳 $a_n^{(p)}$ 以 $p_j$ 表示的線性關係 ( LaTeX )
mlSolvePjEquationSystem	string	回傳 $p_j$ 的聯立方程組 ( LaTeX )
mlPjAnswer	string	回傳 $p_j$ 的答案 ( LaTeX )

組件顯示的解題過程

計算 $a_n^{(p)}$ 之中，指數項 expData.mlExp() 對應的 expData.PjNum 個未知係數 expData.mlSomePj()， 需要將 expData.mlNRange() 代入式 ( 1 )，
產生 expData.PjNum 個式子的線性方程組，並解聯立：

expData.mlParticularLinearEquation()

其中 $F(n) =$ _mlExpTerm(false, 0)，
$a_n^{(p)} =$ _mlExpTerm(true, extraNPow)，代入常數後得到：

expData.mlPjLinearEquation()

展開後得到：

expData.mlSolvePjEquationSystem()

使用高斯消去法解 $p_j$ 的聯立方程式，得到：

expData.mlPjAnswer()

ref 變數

ref	Type	Description
expData	SolveNonHomogExp	未知係數 $p_j$ 的計算結果

expData

未知係數 $p_j$ 的計算結果，計算所需的變數和方法都封裝在內。

當組件參數 recurCoef、frac_b、polyCoef、extraNPow、startPj 改變時會更新此值。

解題過程

以下示範如何解

$a_n^{(p)} + 5a_{n-1}^{(p)} + 6a_{n-2}^{(p)} = F(n) ~,~ n \ge 2$

$F(n) = (-2 -n + 2n^2) 1^n$

$a_n^{(p)} = (p_1 + p_2 n + p_3 n^2) n^0 1^n$

的未知係數 $p_j$

Step1 生成線性關係

因為未知係數 $p_j$ 有 3 個，需要生成 3 個式子才能解 $p_j$ 的聯立，
因為 $n \ge 2$，所以將 2 ~ 4 代入遞迴式產生 3 個式子的線性方程組，並解聯立：

$\begin{bmatrix} a_2^{(p)} + 5a_1^{(p)} + 6a_0^{(p)} \\ a_3^{(p)} + 5a_2^{(p)} + 6a_1^{(p)} \\ a_4^{(p)} + 5a_3^{(p)} + 6a_2^{(p)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(2) \\ F(3) \\ F(4) \end{bmatrix}$

其中

$\begin{bmatrix} a_0^{(p)} \\ a_1^{(p)} \\ a_2^{(p)} \\ a_3^{(p)} \\ a_4^{(p)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_1 +p_2 +p_3 \\ p_1 +2p_2 +4p_3 \\ p_1 +3p_2 +9p_3 \\ p_1 +4p_2 +16p_3 \end{bmatrix}$

Step2 展開聯立方程式

$\begin{bmatrix} F(2) \\ F(3) \\ F(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2^{(p)} + 5a_1^{(p)} + 6a_0^{(p)} \\ a_3^{(p)} + 5a_2^{(p)} + 6a_1^{(p)} \\ a_4^{(p)} + 5a_3^{(p)} + 6a_2^{(p)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0^{(p)} \\ a_1^{(p)} \\ a_2^{(p)} \\ a_3^{(p)} \\ a_4^{(p)} \end{bmatrix}$

而

$\begin{bmatrix} a_0^{(p)} \\ a_1^{(p)} \\ a_2^{(p)} \\ a_3^{(p)} \\ a_4^{(p)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_1 +p_2 +p_3 \\ p_1 +2p_2 +4p_3 \\ p_1 +3p_2 +9p_3 \\ p_1 +4p_2 +16p_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}$

因此 $p_j$ 的聯立方程式為：

$\begin{bmatrix} F(2) \\ F(3) \\ F(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix} = AB \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}$

展開後得到：

$AB \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 7 & 9 \\ 12 & 19 & 35 \\ 12 & 31 & 85 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \\ 26 \end{bmatrix} = F$

• 矩陣 $A$ 會被保存在 SolveNonHomogExp._initPjEquationSystem() 內的 matrix_PLE
• 矩陣 $B$ 會被保存在 this.PjLinearEquation
• 矩陣 $AB$ 會被保存在 this.matrix_solvePj
• 矩陣 $F$ 會被保存在 this.nonHomogFn

Step3 解聯立方程式

由於 $AB$ 一定可逆，( 如果不可逆的話，比較係數法根本不成立 )
因此

$\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix} = (AB)^{-1} F = P$

這一步會在 SolveNonHomogExp._initSolvePj() 內運算：

1. 套上一層 Array 變成 [this.nonHomogFn]，因為 Matrix 建構子要求輸入一個二維陣列。
2. 傳入 Matrix，此時矩陣為 $\begin{bmatrix} 4 & 13 & 26 \end{bmatrix}$。
3. 轉置後變為矩陣 $F$。
4. 求 $(AB)^{-1} F$。
5. 因為要轉為 Array，所以要將 $P$ 轉置。
6. .A 回傳一個二維矩陣，但 $P$ 是個向量，因此 .A[0] 即可取出 this.PjAnswer。