Recur

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齊次 / 非齊次遞迴解答生成器

用於解以下形式的遞迴：( 最高支援三階遞迴 )

$a_n = r_1 a_{n-1} + r_2 a_{n-2} + r_3 a_{n-3} + F(n)$

$a_0 = s_0 ~,\enspace a_1 = s_1 ~,\enspace a_2 = s_2$

其中非齊次部分：

$F(n) = c_1 n^{k_1} {b_1}^n + \cdots$

參數型態：

$r_i ~,~ s_i ~,~ c_i ~,~ b_i \in \mathbb{Q} \quad;\quad k_i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$

組件參數

props	type	說明
recurCoef	Array<Frac>	齊次部分的係數
nonHomoFunc	{ key: Frac }	非齊次部分的常數
initConst	Array<Frac>	初始條件

recurCoef

遞迴式齊次部分的係數。
recurCoef = [ r1, r2, r3 ] 對應至 $r_1, r_2, r_3$。

• recurCoef.length 必須為 1 ~ 3，代表遞迴的階數，若為 0 會顯示錯誤訊息。
• recurCoef[-1] 不建議為 Frac(0)，會導致遞迴降階。

example
recurCoef = [ new Frac(-3, 2), new Frac(6) ] 代表

$a_n = \frac{-3}{2} a_{n-1} + 6 a_{n-2}$

nonHomoFunc

遞迴式非齊次部分的常數。

nonHomoFunc = { "<k>,<bn>/<bd>": c, ... } 代表非齊次部分有一項為

$c n^k \left( \frac{b_n}{b_d} \right)^n$

參數	值	說明
<k>	string	多項式部分 $n^k$ 目前只允許 0 ~ 3
<bn> 和 <bd>	string	指數部分 $(b_n / b_d)^n$ 可以透過 Frac.fromStr("<bn>/<bd>") 轉為 Frac
c	Frac	係數 $c$

example

nonHomoFunc = {
	"0,1/1": new Frac(2),
	"0,-2/1": new Frac(3),
	"2,1/2": new Frac(-1, 2)
}

代表

$2 + 3 (-2)^n + \frac{-1}{2} n^2 \left( \frac{1}{2} \right)^n$

initConst

遞迴式的初始條件
initConst = [ s1, s2, s3 ] 對應至 $s_1, s_2, s_3$。

必須滿足 initConst.length == recurCoef.length

example
initConst = [ new Frac(-3, 2), new Frac(6) ] 代表

$a_0 = \frac{-3}{2} ~,\enspace a_1 = 6$

遞迴變數 ( class SolveRecur )

組件參數 recurCoef 更新時，會更新 recur = new SolveRecur(...)

variable	type	說明
recurCoef	Array<Frac>	同 props.recurCoef
cubic	SolveCubic	特徵方程式的解
multiRootNum	Number (1, 2, 3)	cubic 的最大重根數
frac_multiRoot	Frac | null	cubic 的重根

method	return	說明
makeCharLatex	string	特徵值 ( latex )
showNoRationalRoot	Boolean	特徵方程式的解
makeMultiRootHomogLatex	string	cubic 的最大重根數
makeHomogFormLatex	string	cubic 的重根

cubic

特徵方程式的解會保存在 cubic。

特徵方程式移項、乘 $t$ 後得到三次函數 $t^3 - r_1 t^2 - r_2 t - r_3 = 0$，
這樣 1 ~ 3 階遞迴對應的函數都可以使用 SolveCubic 求特徵值。
乘 $t$ 產生的 $0$ 特徵值將在後續步驟被忽略，並不影響齊次解形式。

multiRootNum

特徵方程式的最大重根數。

使用 cubic.getDoubleRoot() 和 cubic.getTripleRoot() 取得二、三重根，
若不存在會得到 null。

由於 getTripleRoot() 在數學定義上會與 getDoubleRoot() 同時存在，
所以必須先檢查三重根是否存在，再檢查二重根。

frac_multiRoot

特徵方程式的重根，若不存在重根則為 null。

由於特徵方程式最高次數為 3，所以三重根與二重根值相同，
因此 frac_multiRoot 必等於 cubic.getDoubleRoot()。

生成遞迴通解的形式

根據 cubic 的多種解形式和其他因素，以下列出齊次解的所有形式：

solutionType()	額外條件	齊次解形式 ( 只有 $h_i$ 為未知係數 )	通解運算形式
TYPE_3FRAC	multiRootNum == 1	$h_1 {r_1}^p + h_2 {r_2}^p + h_3 {r_3}^p$	TYPE_NORMAL Frac 型態
TYPE_3FRAC	multiRootNum == 2	$h_1 {r_1}^p + h_2 n {r_2}^p + h_3 {r_3}^p$	TYPE_NORMAL Frac 型態
TYPE_3FRAC	multiRootNum == 3	$h_1 {r_1}^p + h_2 n {r_2}^p + h_3 n^2 {r_3}^p$	TYPE_NORMAL Frac 型態
TYPE_FRAC_QUAD	cubic.quad.s $= 0, 1$	會自動轉為 TYPE_3FRAC	-
TYPE_FRAC_QUAD	cubic.quad.s $\gt 0$	$h_1 \left( \frac{ n + m \sqrt{s} }{d} \right)^p + h_2 \left( \frac{ n - m \sqrt{s} }{d} \right)^p + h_3 {r_3}^p$	TYPE_SQRT Frac 型態
TYPE_FRAC_QUAD	cubic.quad.s $\lt 0$	$h_1 \cos(p \theta) r^p + h_2 \sin(p \theta) r^p + h_3 {r_3}^p$ $r = \frac{ \sqrt{n^2 - m^2 s} }{d} ~~,~~ \theta = \tan^{-1}(\frac{ m \sqrt{-s} }{n})$	TYPE_SQRT Frac 型態
TYPE_3REAL	-	$h_1 {r_1}^p + h_2 {r_2}^p + h_3 {r_3}^p$	TYPE_NORMAL float 型態
TYPE_REAL_IM	-	$h_1 \cos(p \theta) r^p + h_2 \sin(p \theta) r^p + h_3 {r_3}^p$ $r = \sqrt{ { c_{re} }^2 + { c_{im} }^2 } ~~,~~ \theta = \tan^{-1}(\frac{ c_{im} }{ c_{re} })$	TYPE_SQRT float 型態

解題步驟

解題步驟的實作細節。

顯示遞迴關係式

使用 RanMath 的 makeRecurLatex 製作。

step1 - 齊次部分

顯示 " $a_n = r_1 a_{n-1} + r_2 a_{n-2} + r_3 a_{n-3}$ "

對應至 makeRecurHomogLatex()

1. 利用 mlTerm(frac_r, "a_{n-${i+1}}", 1) 生成出 " $+~ r_i a_{n-i}$ "
2. 將每一項的 latex 字串拼接起來，此時為 " $+ r_1 a_{n-1} + r_2 a_{n-2}$ "。
   若 mlTerm 回傳 +0 代表該項為 0，不顯示。
3. 若拼接完成的字串為 ""，代表所有齊次遞迴係數都為 0，顯示 " $0$ "。
4. 開頭要加上 " $a_n =$ "，所以如果 latex 字串開頭為 + 要去除。

step1 - 特徵方程式

顯示 " $t^l = r_1 t^{l-1} + r_2 t^{l-2} + r_3 t^{l-3}$ "，$l$ 為遞迴階數。

1. 利用 mlTerm(frac_r, "t", l-i-1) 生成出 " $r_i t^{l-i}$ "。

2, 3, 4 步與 step1 - 齊次部分 類似。

step1 - 特徵值

顯示特徵方程式的解。

對應至 recur.makeCharLatex()

當遞迴階數 == (recurCoef.length)	makeCharLatex() 回傳	說明
未傳入遞迴	?	-
1	recurCoef[0].toLatex()	特徵多項式 $t = r_1$ 的特徵值為 $r_1$
2	cubic.quad.toLatex()	因為 cubic.frac_r1 必為 0 直接回傳二次函數的解 ( latex )
3	cubic.toLatex()	三次函數的解 ( latex )

step1 - 不存在有理數特徵值的提醒

如果特徵方程式不存在有理根，顯示 "(!) 不存在有理根" 的訊息在特徵值右側。

對應至 recur.showNoRationalRoot()

cubic.frac_r1 === undefined 與
type !== SolveCubic.TYPE_3FRAC && type !== SolveCubic.TYPE_FRAC_QUAD 等價。

cubic.solutionType() 若不為 SolveCubic.TYPE_3FRAC 或 SolveCubic.TYPE_FRAC_QUAD，
則三次函數不存在有理數根，後續計算都採浮點運算。

顯示的浮點數值都到小數點後四位。

step1 - 重根提示

如果特徵方程式有重根特徵值，顯示 " 有 n 重根 ?，需要設 ... 保證線性獨立 "。

對應至 recur.makeMultiRootHomogLatex()

if multiRootNum ==	makeMultiRootHomogLatex() 回傳
1	" $?$ "
2	" $h_1 b^n + h_2 n b^n$ "
3	" $h_1 b^n + h_2 n b^n + h_3 n^2 b^n$ "

$b^n$ 由 mlTerm(1, dRoot, "n", false) 生成。

step1 - 齊次解的形式

顯示齊次解 $a_n^{(h)} = h_1 {b_1}^n + h_2 {b_2}^n + h_3 {b_3}^n$

對應至 recur.makeHomogFormLatex()

使用 makeExpLatex("h_i ", frac_r) 來製作 " $h_i r^n$ " ( latex )

if solutionType() ==	if multiRootNum ==	makeHomogFormLatex() 回傳
TYPE_3FRAC	3	multiRootHomogLatex
TYPE_3FRAC	2	multiRootHomogLatex + " $h_3 r^n$ " ( 剩餘根 )
TYPE_3FRAC	1	" $h_1 {r_1}^n + h_2 {r_2}^n + h_3 {r_3}^n$ "
TYPE_FRAC_QUAD	無重根	cubic.quad.toLatex() 回傳的解一定包含 " $\pm$ " 將 $\pm$ 替換為 $+$ 和 $-$ 來製作兩個根的 latex， 加上剩餘一根 cubic.frac_r1 後回傳
TYPE_3REAL	無重根	" $h_1 {r_1}^n + h_2 {r_2}^n + h_3 {r_3}^n$ "
TYPE_REAL_IM	無重根	" $h_1 (c_{re} + c_{im} i)^n + h_2 (c_{re} - c_{im} i)^n + h_3 {r_3}^n$ "

step2 - 非齊次部分

step2 - 特解的形式

step2 - 保持特解線性獨立

step3 - 通解的形式

step3 - 解聯立方程式

遞迴的一般式