RecurNonHomog

CAUTION

此組件已重構，此文檔將作廢或改寫。

WARNING

這個組件是 Recur.vue 拆分出的子組件，你不應該單獨使用它。

用於計算非齊次遞迴的特解，並且顯示計算過程。

描述

輸入遞迴的非齊次部分

$F(n) = c_1 n^{k_1} {b_1}^n + c_2 n^{k_2} {b_2}^n + \cdots$

$c_i ~,~ b_i \in \mathbb{Q} \quad;\quad k_i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$

輸出遞迴的特解

$a_n^{(p)} = p_1 n^{k_1} {b_1}^n + p_2 n^{k_2} {b_2}^n + \cdots$

$p_i ~,~ b_i \in \mathbb{Q} \quad;\quad k_i \in \mathbb{N}$

組件參數

props.	Type	Description
recurCoef	Array<Frac>	齊次部分的係數
nonHomoFunc	{ key: Frac }	非齊次部分的常數
cubic	SolveCubic	來自 Recur.vue 的特徵方程式的解
recurNonHomogLatex	string	link 待補

recurCoef

同 Recur - recurCoef。

nonHomoFunc

同 Recur - nonHomoFunc。

cubic

link 待補。

recurNonHomogLatex

link 待補。

emit

emit	Type	Description
particular	{ key: Array<Frac> }	非齊次遞迴的特解

particular

非齊次遞迴的特解，由 SolveNonHomog.getParticular 生成。

當未知係數 $p_j$ 全部計算完成時，上傳結果至 Recur.vue。

Example

particular = [
	"1/1": [ new Frac(0), new Frac(-2), new Frac(6) ],
	"-2/3": [ new Frac(-2, 7) ],
	"-3/1": [ new Frac(0), new Frac(0), new Frac(1) ]
];

表示：

$a_n^{(p)} = -2n + 6n^2 + \frac{-2}{7} \left( \frac{-2}{3} \right)^n + n^2 (-3)^n$

SolveNonHomog 的變數

建構子參數 recurCoef、nonHomoFunc、cubic 同 組件參數。

this.	Type	Description
recurLevel	number ( int )	遞迴階數
combinedExpFunc	{ key: Array<Frac> }	含有相同指數項 ${b_i}^n$ 的多項式之中的係數
varPjIndex	{ key: Array<number> }	特解的未知係數 $p_j$ 的編號 $j$
PjNum	number ( int )	特解的未知係數 $p_j$ 的數量
homogRootConflictNum	{ key: number }	齊次解的某個特徵值 $b$ 的重根數 且 $b^n$ 在 $a_n^{(p)}$ 內

recurLevel

遞迴階數，與 recurCoef.length 的值相同。

combinedExpFunc

非齊次部分 nonHomoFunc 的形式為 $\sum\limits_i c_i n^{k_i} {b_i}^n$ ，合併含有相同 ${b_i}^n$ 的項，
轉為 combinedExpFunc 的 $\sum\limits_i f_i(n) {b_i}^n$ 形式。

會在 SolveNonHomog._initCombineExp() 內計算。

Example

nonHomoFunc = {
	"0,-2/1": new Frac(3),
	"1,-2/1": new Frac(3, 2),
	"2,-2/5": new Frac(-6)
};

表示 $3 (-2)^n + \frac{3}{2} n (-2)^n -6 n^2 (\frac{-2}{5})^n$

$\downarrow$

轉為 $( 3 + \frac{3}{2} n )(-2)^n + ( -6 n^2 )(\frac{-2}{5})^n$

combinedExpFunc = {
	"-2/1": [ new Frac(3), new Frac(3, 2) ],
	"-2/5": [ new Frac(0), new Frac(0), new Frac(-6) ]
};

varPjIndex

特解當中的未知係數 $p_j$ 的編號 $j$。

因為特解 $a_n^{(p)}$ 之中假設的 $g_i(n)$ 的次數要跟非齊次部分 $F(n)$ 當中的 $f_i(n)$ 相同，
所以結構與 combinedExpFunc 相同。

會在 SolveNonHomog._initNumberTheUnknownPj() 內計算。

Example

combinedExpFunc = {
	"1/1": [ new Frac(0), new Frac(2) ],
	"-2/1": [ new Frac(3), new Frac(3, 2) ],
	"-2/5": [ new Frac(0), new Frac(0), new Frac(-6) ]
};

若非齊次部分為：

$F(n) = \sum\limits_i f_i(n) {b_i}^n = (2n)1^n + ( 3 + \frac{3}{2} n )(-2)^n + ( -6 n^2 )(\frac{-2}{5})^n$

猜測特解的形式為：

$a_n^{(p)} = \sum\limits_i g_i(n) {b_i}^n = (p_1 + p_2 n)1^n + ( p_3 + p_4 n )(-2)^n + ( p_5 + p_6 n + p_7 n^2 )(\frac{-2}{5})^n$

varPjIndex = {
	"1/1": [ 1, 2 ],
	"-2/1": [ 3, 4 ],
	"-2/5": [ 5, 6, 7 ]
};

PjNum

特解的未知係數 $p_j$ 的數量。

參考上個範例的 varPjIndex，可知 PjNum = 7。

會在 SolveNonHomog._initNumberTheUnknownPj() 內計算。

homogRootConflictNum

當齊次與非齊次部分都存在相同的指數部分 ${b_i}^n$ 時，需要額外乘上 $n^k$ 保證線性獨立。

• 若 $a_n^{(h)}$ 存在 ${b_i}^n$ 項，需要額外乘上 $n^1$，變成 $(p_s n + p_{s+1} n^2 + \cdots) {b_i}^n$。
• 若 $a_n^{(h)}$ 存在 ${b_i}^n$、$n {b_i}^n$ 項，需要額外乘上 $n^2$，變成 $(p_s n^2 + p_{s+1} n^3 + \cdots) {b_i}^n$。

以此類推

會在 SolveNonHomog._initConflictRoot() 內計算。

Example
若齊次部分為 $a_n^{(h)} = h_1 1^n + h_2 (-2)^n + h_3 n (-2)^n$、
非齊次部分為 $a_n^{(p)} = (p_1 + p_2 n) 1^n + p_3 (-2)^n + p_4 3^n$

則

homogRootConflictNum = { "1/1": 1, "-2/1": 2 };

SolveNonHomogExp 的方法

ml 是 makeLatex 的縮寫。

Method	Return	Description
_initCombineExp	void	計算 combinedExpFunc
_initNumberTheUnknownPj	void	計算 varPjIndex 和 PjNum
_initConflictRoot	void	計算 homogRootConflictNum
_mlExpTerm	string	生成 " $(* + *n + *n^2 + \cdots) b^n$ " ( LaTeX )
mlCombinedExp	string	合併後的齊次部分 ( LaTeX )
mlParticularForm	string	假設的特解形式 ( LaTeX )
mlExistHomogExp	string	齊次部分之中的相同指數項 ${b_i}^n$ ( LaTeX )
mlExistParticularExp	string	特解形式之中的相同指數項 ${b_i}^n$ ( LaTeX )
mlChangeExpList	Array<[string, string]>	特解乘上 $n^k$ 的前後變化 ( LaTeX )
mlNewParticularForm	string	新的特解形式 ( LaTeX )
mlParticularIntoRecur	string	$a_n^{(p)}$ 填入原遞迴關係 ( LaTeX )
mlParticularIntoRecurTrans	string	mlParticularIntoRecur 移項後的結果 ( LaTeX )
mlParticularIntoRecurWhere	string	再顯示一次 mlNewParticularForm 與 mlCombinedExp ( LaTeX )
mlParticular	string	計算完成的特解 ( LaTeX )
getParticular	{ key: Array<Frac> }	生成特解的資訊， 用於 emit 至 Recur.vue

_mlExpTerm

_mlExpTerm(s_frac_b, isUnknownCoef, extraNPow = 0) -> string
生成 " $(* + *n + *n^2 + \cdots) b^n$ " 形式的 latex 語法。

Param	Type	Description
s_frac_b	string	$b^n$ 的底數 $b$，會透過 Frac.fromStr 轉為 Frac
isUnknownCoef	boolean	isUnknownCoef == true 生成 " $(p_s + p_{s+1}n + \cdots) b^n$ " ( 特解 ) 其中 $p_j$ 為未知係數 isUnknownCoef == false 生成 " $(c_s + c_{s+1}n + \cdots) b^n$ " ( 非齊次 ) 其中 $c_j$ 為已知係數
extraNPow	number	將生成結果乘上 $n^k$ 可以參考 homogRootConflictNum

mlParticular

計算完成的特解的 latex。

getParticular

生成特解的資訊，用於 emit 至 Recur.vue。

回傳值的範例請參考 particular。

組件顯示的解題過程

遞迴的非齊次部分為

props.recurNonHomogLatex

合併相同的指數項：

$F(n) = \sum\limits_{i} f_i(n) {b_i}^n = \text{recur.mlCombinedExp()}$

猜測特解的形式為：

recur.mlParticularForm()

其中多項式 $g_i(n)$ 的次數應與 $f_i(n)$ 相同。

檢查齊次解 $a_n^{(h)}$ 和特解 $a_n^{(p)}$ 之中是否存在相同的指數部分 ${b_i}^n$：

如果...	顯示的 ui ( 解題過程 )
存在	由於 recur.mlExistHomogExp() 已出現在 $a_n^{(h)}$ 之中， 若特解 $a_n^{(p)}$ 也包含同樣項次 recur.mlExistParticularExp() 會導致與齊次解重疊， 為了保證特解與齊次解的線性獨立性，需要將 - 以下遍歷 recur.mlChangeExpList() 產生的列表 - ... 改為 ... ... 改為 ...
不存在	$\Rightarrow$ 不存在相同的指數部分。

因此特解的形式為：

recur.mlNewParticularForm()

將 $a_n^{(p)}$ 代入原遞迴關係： ( 將 $a_n$ 替換為 $a_n^{(p)}$ 即可，不要將形式代入 )

recur.mlParticularIntoRecur()

移項後得到： ( 式 1 )

recur.mlParticularIntoRecurTrans()

其中

recur.mlParticularIntoRecurWhere()

接下來需要對每個指數項 ${b_i}^n$ 對應的多項式，分別求未知係數 $p_j$。

...
一些組件 RecurNonHomogExp.vue
...

將 $p_j$ 代回 $a_n^{(p)}$，得到特解為

particularLatex

ref 變數

ref	Type	Description
recur	SolveNonHomog	特解的未知係數 $p_j$ 的計算過程
PjBuffer	{ key: Array<Frac> }	用於暫存多個 RecurNonHomogExp.vue 回傳的 $p_j$
particularLatex	string	計算完成的特解 ( LaTeX )

recur

特解的未知係數 $p_j$ 的計算過程，計算所需的變數和方法都封裝在內。

當組件參數 recurCoef、nonHomoFunc、cubic 改變時會更新此值。

PjBuffer

用於暫存多個 RecurNonHomogExp.vue 回傳的 $p_j$。

particularLatex

計算完成的特解 ( LaTeX )，由 SolveNonHomogExp.mlParticular 生成。

解題過程

請自行至 app 內測試。